Metodi computazionali per le finanza

Durante il corso di Metodi computazionali per le finanza abbiamo trattato in Matlab alcuni problemi tipici del settore, risolvibili per via numerica.

In particolare il programa include:

Metodi ad albero per la valutazione dei derivati di tipo Europeo, verifica empirica della convergenza alla formula di Black e Scholes nel caso di opzioni call e put europee. Calcolo del delta. Applicazione dei suddetti metodi al caso di derivati di tipo americano
Metodi alle differenze finite (implicito, esplicito, Crank-Nicholson) per la valutazione di derivati di tipo europeo ed americano. Cenni sulla stabilità e convergenza
Metodi Monte Carlo: schema di Eulero per la simulazione di traiettorie di processi stocastici. Utilizzo di Monte Carlo per la valutazione di derivati.

inoltre:

Utilizzo del metodo Monte Carlo per il calcolo di integrali
Simulazione di estrazioni casuali da distribuzioni di vario tipo, continue o discrete: data una Pdf, si ricava e inverte la Cdf. I numeri estratti da una distribuzione uniforme vengono poi trasformati nella distribuzione voluta
Generazione di numeri pseudocasuali (Generatore congruente lineare)

Esempi dall’esame:

Tre moti correlati:

Call europea, metodo Crank-nicholson:

1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
22
23
24
25
26
27
28
29
30
31
32
33
34
35
36
37
38
39
40
41
42
43
44
45
46
47
48
49
50
51
52
53
54
55
56
57
58
59
60
61
62
63

% CALLER SCRIPT

s0 = 120;
k = 150;
t = 1;
sig = 0.3;
r = 0.02;

prezzi = (80:2:130);
mat = (0.1:0.05:1);

[X, Y] = meshgrid(prezzi, mat);
Z = zeros(size(X));
for i=1:length(prezzi)
for j=1:length(mat)
pr = es2(prezzi(i), k, mat(j),sig,r);
Z(j,i) = pr;
end
end

mesh(X, Y, Z);

% FUNCTION

function pr = es2(s0, k, t,sig,r)
%ES2 Summary of this function goes here
% Detailed explanation goes here

% s0 = 120;
% k = 150;
% t = 1;
% sig = 0.3;
% r = 0.02;

n = 252;
dt = t/n;

xMax = log(3);
dx = sig*sqrt(3*dt);
m = ceil(xMax/dx);

payoff = max(0,s0*exp((-m:m)'*dx)-k);
D = zeros(2*m+1, n+1);
D(:,end) = payoff;
fs = 1/(1+r*dt);
nu = r-0.5*sig^2;
a = (dt/4)*(-nu/dx+sig^2/dx^2);
b = -0.5*dt*(r+(sig^2)/dx^2);
c = (dt/4)*(nu/dx+sig^2/dx^2);

A =-a*diag(ones(2*m,1),-1)+(1-b)*diag(ones(2*m+1,1))-c*diag(ones(2*m,1),1);
A(1,1:2) = [1 0];
A(end, end-2:end) = [1 -2 1];

B =a*diag(ones(2*m,1),-1)+(1+b)*diag(ones(2*m+1,1))+c*diag(ones(2*m,1),1);
B(1,1:2) = [fs 0];
B(end, end-2:end) = [0 0 0];

for i=n:-1:1
d = B*D(:,i+1);
D(:,i) = A\d;
end
pr = D(m+1,1);

Metodi computazionali per la finanza

Metodi computazionali per le finanza

Tre moti correlati:

Call europea, metodo Crank-nicholson: