Méthodes computationnelles pour la finance

Pendant le cours de Méthodes computationnelles pour la finance, nous avons abordé en Matlab certains problèmes typiques du secteur, résolus numériquement.

En particulier, le programme comprend :

Méthodes d’arbre pour l’évaluation des dérivés de type européen, vérification empirique de la convergence vers la formule de Black et Scholes dans le cas des options européennes d’achat et de vente. Calcul du delta. Application de ces méthodes aux dérivés de type américain.
Méthodes aux différences finies (implicites, explicites, Crank-Nicholson) pour l’évaluation des dérivés de type européen et américain. Aperçu de la stabilité et de la convergence.
Méthodes de Monte Carlo : schéma d’Euler pour la simulation de trajectoires de processus stochastiques. Utilisation de Monte Carlo pour l’évaluation des dérivés.

De plus :

Utilisation de la méthode de Monte Carlo pour le calcul d’intégrales.
Simulation de tirages aléatoires à partir de diverses distributions, continues ou discrètes : étant donné une fonction de densité de probabilité, on obtient et inverse la fonction de répartition cumulative. Les nombres tirés à partir d’une distribution uniforme sont ensuite transformés en la distribution souhaitée.
Génération de nombres pseudo-aléatoires (générateur congruent linéaire)

Exemples d’examens :

Trois mouvements corrélés :

Option d’achat européenne, méthode de Crank-Nicholson :

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% CALLER SCRIPT

s0 = 120;
k = 150;
t = 1;
sig = 0.3;
r = 0.02;

prezzi = (80:2:130);
mat = (0.1:0.05:1);

[X, Y] = meshgrid(prezzi, mat);
Z = zeros(size(X));
for i=1:length(prezzi)
for j=1:length(mat)
pr = es2(prezzi(i), k, mat(j),sig,r);
Z(j,i) = pr;
end
end

mesh(X, Y, Z);

% FUNCTION

function pr = es2(s0, k, t,sig,r)
%ES2 Summary of this function goes here
% Detailed explanation goes here

% s0 = 120;
% k = 150;
% t = 1;
% sig = 0.3;
% r = 0.02;

n = 252;
dt = t/n;

xMax = log(3);
dx = sig*sqrt(3*dt);
m = ceil(xMax/dx);

payoff = max(0,s0*exp((-m:m)'*dx)-k);
D = zeros(2*m+1, n+1);
D(:,end) = payoff;
fs = 1/(1+r*dt);
nu = r-0.5*sig^2;
a = (dt/4)*(-nu/dx+sig^2/dx^2);
b = -0.5*dt*(r+(sig^2)/dx^2);
c = (dt/4)*(nu/dx+sig^2/dx^2);

A =-a*diag(ones(2*m,1),-1)+(1-b)*diag(ones(2*m+1,1))-c*diag(ones(2*m,1),1);
A(1,1:2) = [1 0];
A(end, end-2:end) = [1 -2 1];

B =a*diag(ones(2*m,1),-1)+(1+b)*diag(ones(2*m+1,1))+c*diag(ones(2*m,1),1);
B(1,1:2) = [fs 0];
B(end, end-2:end) = [0 0 0];

for i=n:-1:1
d = B*D(:,i+1);
D(:,i) = A\d;
end
pr = D(m+1,1);

Note: traduit automatiquement en français

Méthodes numériques pour la finance

Méthodes computationnelles pour la finance

Trois mouvements corrélés :

Option d’achat européenne, méthode de Crank-Nicholson :