Heston
Per il lavoro assegnato nel corso universitario di Derivati ho realizzato un progetto su Heston in Matlab.
Il modello di Heston prevede che non solo i prezzi, come nel modello di Black and Scholes, ma anche le volatilità abbiano una componente stocastica.
Il mio progetto ha trattato il comportamento di un’opzione sia nel mondo di B&S sia nel mondo di Heston, mostrando le differenze nei due approcci (in particolare l’effetto smile e una differenza nella curtosi). Ho simulato traiettorie di mercato sia con Montecarlo (con i due processi stocastici correlati) sia con la formula analitica, con la quale ho disegnato la volatility surface. Infine ho calibrato la funzione analitica sui dati di mercato di un’opzione reale, utilizzando una funzione di minimizzazione.
I files:
Sotto il codice del progetto (purtroppo in wordpress si perde la formattazione):
HestonAvvio.m:
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clear all; warning off; close all; nTrials = 200; strike = 15; inizioPrezzi = 5; numPrezzi = 1; speed = 3; nPeriods = 500; scadenza = 50; mu = 0.02; deltaTime=1/nPeriods; volavola = 3; level = 0.9; startstatevola = 1.3; call = 1; r = 0.01; correlation = 0.5; startState = [15; startstatevola]; % B&S: usa vola di lp di Heston (con X) [PrezziBeS, VolaBeS, TempiBeS] = generaPrezziBeS(mu, level, startState, nPeriods, nTrials, deltaTime); % Heston [PrezziHeston, VolaHeston, tempiHeston] = generaPrezziHeston(mu, speed, level, volavola, correlation, startState, nPeriods, nTrials, deltaTime); volaHeston = mean(VolaHeston, 1); % vettore con le volatilità medie nelle diverse scadenze % Plotta prezzi e volatilità dei due figure() subplot(2,2,1); hold on for i = 1:nTrials plot(TempiBeS, PrezziBeS(i,:));%prezzo title('B&S: PREZZI'); end subplot(2,2,3); hold on; for i = 2:nTrials plot(TempiBeS, VolaBeS(i,:)./PrezziBeS(i,:));%prezzo title('B&S: sigma'); end subplot(2,2,2); hold on for i = 1:nTrials plot(tempiHeston, PrezziHeston(i,:));%prezzo title('HESTON: PREZZI'); end subplot(2,2,4); hold on; for i = 2:nTrials plot(tempiHeston, VolaHeston(i,:)); title('Heston: sigma'); end % MOSTRA LA CURTOSI figure(); lineWidth = 2; subplot(1,2,1); hold on; returns = tick2ret(PrezziBeS'); % Calcola rendimenti delle traiettorie generate con Heston muHist = mean(mean(returns)); sigmaHist = sqrt(var(returns(:))); curtosi = kurtosis(returns(:)); histogram(real(returns),'Normalization','pdf'); y = -0.15:0.001:0.15; f = exp(-(y-muHist).^2./(2*sigmaHist^2))./(sigmaHist*sqrt(2*pi)); plot(y,f,'LineWidth',lineWidth) % Disegna la normale title(strcat('Black & Scholes, curtosi: ', num2str(curtosi))); subplot(1,2,2); hold on; returns = tick2ret(real(PrezziHeston')); muHist = mean(mean(returns)); sigmaHist = sqrt(var(returns(:))); curtosi = kurtosis(returns(:)); histogram(real(returns),'Normalization','pdf'); y = -0.15:0.001:0.15; f = exp(-(y-muHist).^2./(2*sigmaHist^2))./(sigmaHist*sqrt(2*pi)); plot(y,f,'LineWidth',lineWidth) title(strcat('Heston, curtosi: ', num2str(curtosi))); %% 2) MONTECARLO: SMILE (prezzo fisso-strike varia) HESTON clc; clear all; % close all; rng default; %parametri da modificare nTrials = 400 nSteps = 100; prezzo = 15; inizioStrike = 10; numStrike = 10; %parametri da lasciare speed = 0.2; nPeriods = 5; deltaTime=1/nPeriods; ignoraVola =true; mu = 0.02; volavola = 1.83; levola = 0.02; %volatilità di partenza e di lp level = levola; startstatevola = levola; r = 0.01; % tasso istantaneo di rendimento risk free correlation = -0.5; Vola3Scadenze = zeros(numStrike,3); scadenza1 = 2; scadenza2 = 3; scadenza3 = 4; prezziScad = zeros(numStrike,1); rng default; startState = [prezzo; startstatevola]; for u = 1:numStrike [PrezziHeston, tempiHeston] = generaPrezziHeston2(mu, speed, level, volavola, correlation, startState, nPeriods, nTrials, deltaTime, ignoraVola, nSteps); if (inizioStrike+u)>prezzo call = 1; callbls = true; else call = 0; callbls = false; end % interrompi(u) payoffsHeston = optionPrices2(call, inizioStrike+u, r, 1/nPeriods, tempiHeston, PrezziHeston); mediePayoffs = payoffsHeston; volatility = blsimpv(prezzo, inizioStrike+u, r, scadenza1/nPeriods, mediePayoffs(scadenza1),200, 0,[],callbls); vola3Scadenze(u,1) = volatility; volatility = blsimpv(prezzo, inizioStrike+u, r, scadenza2/nPeriods, mediePayoffs(scadenza2),200, 0,[],callbls); vola3Scadenze(u,2) = volatility; prezziScad(u) = mediePayoffs(scadenza2); volatility = blsimpv(prezzo, inizioStrike+u, r, scadenza3/nPeriods, mediePayoffs(scadenza3),200, 0,[],callbls); vola3Scadenze(u,3) = volatility; end % beep on; % beep; figure(); scatter(inizioStrike+1:numStrike+inizioStrike, prezziScad); title(strcat('Prezzi opzioni put - call, HESTON, So= ', num2str(prezzo), 'maturity = ', num2str(scadenza2/nPeriods*250), ' giorni')); xlabel('Strike'); ylabel('Prezzo'); figure(); hold on; scatter((inizioStrike+1:1:prezzo), vola3Scadenze(1:prezzo-inizioStrike,1),'r','x'); scatter((prezzo+1:1:numStrike+inizioStrike), vola3Scadenze(prezzo-inizioStrike+1:numStrike,1),'b','x'); a = vola3Scadenze(1:numStrike,1)'; ind = inizioStrike+1:numStrike+inizioStrike; k = ~isnan(a); p = polyfit(ind(k),a(k),2); refcurve(p); axis([10 20 0 0.8]); title(strcat('Moneyness - implied volatility, HESTON, So= ', num2str(prezzo), ' maturity= ', num2str(scadenza1/nPeriods*250), ' giorni')); ylabel('Implied volatility'); xlabel('Strike'); legend(strcat('Y=(', num2str(p(1)),')X^2 +(', num2str(p(2)),')X+(', num2str(p(3)),')')); figure(); hold on; scatter((inizioStrike+1:1:prezzo), vola3Scadenze(1:prezzo-inizioStrike,2),'r','x'); scatter((prezzo+1:1:numStrike+inizioStrike), vola3Scadenze(prezzo-inizioStrike+1:numStrike,2),'b','x'); a = vola3Scadenze(1:numStrike,2)'; ind = inizioStrike+1:numStrike+inizioStrike; k = ~isnan(a); p = polyfit(ind(k),a(k),2); refcurve(p); axis([10 20 0 0.8]); title(strcat('Moneyness - implied volatility, HESTON, So= ', num2str(prezzo), ' maturity= ', num2str(scadenza2/nPeriods*250), ' giorni')); ylabel('Implied volatility'); xlabel('Strike'); legend(strcat('Y=(', num2str(p(1)),')X^2 +(', num2str(p(2)),')X+(', num2str(p(3)),')')); figure(); hold on; scatter((inizioStrike+1:1:prezzo), vola3Scadenze(1:prezzo-inizioStrike,3),'r','x'); scatter((prezzo+1:1:numStrike+inizioStrike), vola3Scadenze(prezzo-inizioStrike+1:numStrike,3),'b','x'); a = vola3Scadenze(1:numStrike,3)'; ind = inizioStrike+1:numStrike+inizioStrike; k = ~isnan(a); p = polyfit(ind(k),a(k),2); refcurve(p); axis([10 20 0 0.8]); title(strcat('Moneyness - implied volatility, HESTON, So= ', num2str(prezzo), ' maturity= ', num2str(scadenza3/nPeriods*250), ' giorni')); ylabel('Implied volatility'); xlabel('Strike'); legend(strcat('Y=(', num2str(p(1)),')X^2 +(', num2str(p(2)),')X+(', num2str(p(3)),')')); %% MONTECARLO: SMILE (B&S) clc; clear all; % close all; rng default; %parametri da modificare nTrials = 1000; prezzo = 15; inizioStrike = 10; numStrike = 10; %parametri da lasciare speed = 0.2; nPeriods = 5; deltaTime=1/nPeriods; nSteps = 100; ignoraVola =true; mu = 0.02; volavola = 1.83; levola = 0.5; level = levola; startstatevola = levola; r = 0.01; correlation = -0.5; Vola3Scadenze = zeros(numStrike,3); scadenza1 = 2; scadenza2 = 3; scadenza3 = 4; prezziScad = zeros(numStrike,1); rng default; startState = [prezzo; startstatevola]; for u = 1:numStrike [PrezziBeS, VolaBeS, tempiBeS] = generaPrezziBeS2(mu, level, startState, nPeriods, nTrials, deltaTime, ignoraVola, nSteps); clear VolaBeS; if (inizioStrike+u)>prezzo call = 1; callbls = true; else call = 0; callbls = false; end u payoffsBeS = optionPrices(call, inizioStrike+u, r, 1/nPeriods, tempiBeS, PrezziBeS); mediePayoffs = payoffsBeS; volatility = blsimpv(prezzo, inizioStrike+u, r, scadenza1/nPeriods, mediePayoffs(scadenza1),200, 0,[],callbls); vola3Scadenze(u,1) = volatility; volatility = blsimpv(prezzo, inizioStrike+u, r, scadenza2/nPeriods, mediePayoffs(scadenza2),200, 0,[],callbls); vola3Scadenze(u,2) = volatility; prezziScad(u) = mediePayoffs(scadenza2); volatility = blsimpv(prezzo, inizioStrike+u, r, scadenza3/nPeriods, mediePayoffs(scadenza3),200, 0,[],callbls); vola3Scadenze(u,3) = volatility; end % beep on; % beep; figure(); scatter(inizioStrike+1:numStrike+inizioStrike, prezziScad); title(strcat('Prezzi opzioni put - call, B&S, So= ', num2str(prezzo), ' maturity= ', num2str(scadenza2/nPeriods*250), ' giorni')); xlabel('Strike'); ylabel('Prezzo'); figure(); hold on; scatter((inizioStrike+1:1:prezzo), vola3Scadenze(1:prezzo-inizioStrike,1),'r','x'); scatter((prezzo+1:1:numStrike+inizioStrike), vola3Scadenze(prezzo-inizioStrike+1:numStrike,1),'b','x'); a = vola3Scadenze(1:numStrike,1)'; ind = inizioStrike+1:numStrike+inizioStrike; k = ~isnan(a); p = polyfit(ind(k),a(k),1); refcurve(p); axis([10 20 0 0.8]); title(strcat('Moneyness - implied volatility, B&S, So= ', num2str(prezzo), 'maturity= ', num2str(scadenza1/nPeriods*250), ' giorni')); xlabel('Implied volatility'); ylabel('Strike'); figure(); hold on; scatter((inizioStrike+1:1:prezzo), vola3Scadenze(1:prezzo-inizioStrike,2),'r','x'); scatter((prezzo+1:1:numStrike+inizioStrike), vola3Scadenze(prezzo-inizioStrike+1:numStrike,2),'b','x'); a = vola3Scadenze(1:numStrike,2)'; ind = inizioStrike+1:numStrike+inizioStrike; k = ~isnan(a); p = polyfit(ind(k),a(k),1); refcurve(p); axis([10 20 0 0.8]); title(strcat('Moneyness - implied volatility, B&S, So= ', num2str(prezzo), ' maturity= ', num2str(scadenza2/nPeriods*250), ' giorni')); xlabel('Implied volatility'); ylabel('Strike'); figure(); hold on; scatter((inizioStrike+1:1:prezzo), vola3Scadenze(1:prezzo-inizioStrike,3),'r','x'); scatter((prezzo+1:1:numStrike+inizioStrike), vola3Scadenze(prezzo-inizioStrike+1:numStrike,3),'b','x'); a = vola3Scadenze(1:numStrike,3)'; ind = inizioStrike+1:numStrike+inizioStrike; k = ~isnan(a); p = polyfit(ind(k),a(k),1); refcurve(p); axis([10 20 0 0.8]); title(strcat('Moneyness - implied volatility, B&S, So= ', num2str(prezzo), ' maturity= ', num2str(scadenza3/nPeriods*250), ' giorni')); xlabel('Implied volatility'); ylabel('Strike'); % beep; %% 3) - FORMULA ANALITICA - volatility surface clear all % close all; s0=1500; vola0 = 1; level = 0.1; volavola = 5; mu = 0.05; speed = 2; correlation = -0.3; r = 0.03; inizioK = 500; fineK = 2500; nintervalliK = 40; intervalliK = ceil(fineK-inizioK)/nintervalliK; k = inizioK:intervalliK:fineK; k = k/s0; ttm = 2:-0.04:0.1; [X, Y] = meshgrid(ttm, k); Z = zeros(length(k),length(ttm)); for i=1:length(k) for j=1:length(ttm) OptionPrice = hestonAnalitica(s0/s0, vola0, speed, level, volavola,... correlation, r, ttm(j), k(i)); Z(i, j) = blsimpv(s0/s0, k(i), r, ttm(j), max(OptionPrice,0),100); end i end Y=-Y; X=X*250; figure(); mesh(X, Y, Z); xlabel('Time to Maturity: giorni'); ylabel('Moneyness: Strike/prezzo'); zlabel('Implied volatility'); title('VOLATILITY SURFACE'); %% 4) CALIBRAZIONE %shuffledArray = orderedArray(randperm(size(orderedArray,1)),:); clear all; close all; %variabili da prendere nella funzione di costo global strikes; global maturity; global price; global r; data = load('c_data2.csv'); % data = data(randperm(size(data,1)),:); % for u = 5:-1:0 u = 0; numData1 = u*380+1; numData2 = numData1+30; % numData1 = 1; % numData2 = 30; % numData = length(data(:,1)); strikes = data(numData1:numData2,1); maturity = data(numData1:numData2,2); %frazioni di anno fra 3/9/2017 e scadenza bid = data(numData1:numData2,3); ask = data(numData1:numData2,4); price = data(numData1:numData2,5); % x0: % s0, x1:vola0, x2:speed, x3:level, x4:volavola,x5:correlation, x6:r, ttm, k % x0 = [1;0.5;0.5;0.5;-0.5; 0.01] x0 = [0.5;0.5;0.5;0.5;-0.5] r = 0.01; startprice = 2476.55; %price = hestonAnalitica(startprice, x0(1),x0(2),x0(3),x0(4),x0(5),x0(6), ttm, k) %c = costFunction(x0) lb = [0;0;0;0;-1] ub = [1;1;10;10;1] x = lsqnonlin(@costFunction,x0,lb,ub) n = length(price) predicted_price = zeros(n,1); for i=1:n predicted_price(i) = hestonAnalitica(startprice, x(1),x(2),x(3),x(4),x(5),r, maturity(i), strikes(i)); end %[bid,price, predicted_price,ask] subplot(3,2,u+1); scatter(price,predicted_price,'filled'); hold on; % confronto predetti/bisettrice plot([min(price),max(price)],[min(price),max(price)]); title(strcat(num2str(min(strikes)),' - ',num2str(max(strikes)))) xlabel('predetti') ylabel('effettivi') %%per far respirare il pc % if mod(u,2)==1 % beep(); % disp('premere un tasto'); % pause(); % end; % end %% inizioK = 1500; fineK = 3000; nintervalliK = 40; intervalliK = ceil(fineK-inizioK)/nintervalliK; s0 = startprice; k = inizioK:intervalliK:fineK; k = k/s0; ttm = 1:-0.02:0.05; [X, Y] = meshgrid(ttm, k); Z = zeros(length(k),length(ttm)); for i=1:length(k) for j=1:length(ttm) OptionPrice = hestonAnalitica(s0/s0, x(1), x(2), x(3), x(4), x(5), r, ttm(j), k(i)); Z(i, j) = blsimpv(s0/s0, k(i), r, ttm(j), max(OptionPrice,0),100); end i end Y=-Y; X=X*250; figure(); mesh(X, Y, Z); xlabel('Time to Maturity: giorni'); ylabel('Moneyness: Strike/prezzo'); zlabel('Implied volatility'); title('VOLATILITY SURFACE'); |
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 | function [pay] = optionPrices(call, strike, r, deltaTime, tempi, prezziGenerati) %HESTONOPTIONPRICE Summary of this function goes here attualizzazione = exp(-tempi*r); payoffs = prezziGenerati-strike; if call==1 payoffs = max(payoffs, 0); else payoffs = max (-payoffs, 0); end % Attualizza i payoff pay = mean(payoffs); pay = pay*diag(attualizzazione); end |
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 | function [ prezzo ] = hestonAnalitica(s0, vola0, speed, level, volavola,... correlation, r, ttm, k ) %HESTONANALITICA Summary of this function goes here % Detailed explanation goes here integrando1 = @(s,s0, vola0, level, speed, volavola, r, correlation, ttm, k) real(exp(-i.*s*log(k)).*... funzCarHeston(s0, vola0, level, speed, volavola, r, correlation, ttm, s-i)./... (i*s.*funzCarHeston(s0, vola0, level, speed, volavola, r, correlation, ttm, -i))); integrando2 = @(s,s0, vola0, level, speed, volavola, r, correlation, ttm, k) real(exp(-i.*s*log(k)).*... funzCarHeston(s0, vola0, level, speed, volavola, r, correlation, ttm, s)./... (i*s)); integrale1 = integral(@(s)integrando1(s,s0, vola0, level, speed, volavola, r, correlation, ttm, k),0,100); integrale2 = real(integral(@(s)integrando2(s,s0, vola0, level, speed, volavola, r, correlation, ttm, k),0,100)); p1 = 0.5+integrale1/pi; p2 = 0.5+integrale2/pi; prezzo = s0*p1-k*p2*exp(-r*ttm); end |
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 | function [prezziGenerati, volaGenerati, tempi] = generaPrezziBeS(mu, level, startState, nPeriods, nTrials, deltaTime) % GENERAPREZZIB&S Summary of this function goes here % Genera nTrials traiettorie secondo B&S, su nPeriods scadenze. F = @(t, X) mu*X; G = @(t, X) X*level; besSde = sde(F, G, 'StartState', startState(1)); [traiettorie, tempi, z] = simByEuler(besSde, nPeriods, 'nTrials', nTrials, 'DeltaTime', deltaTime); traiettorie = permute(traiettorie, [3, 1, 2]); prezziGenerati = traiettorie(:, :, 1); volaGenerati = G(tempi, prezziGenerati); end |
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 | function costo = costFunction(x) global strikes; global maturity; global price; global r; %COSTFUNCTION Summary of this function goes here % Detailed explanation goes here startprice = 2476.55; % k = 1925; % ttm = 0.0383561643835616; % actualprice = 551.15; n = length(strikes); cost = zeros(n,1); for i=1:n prezzoHest = hestonAnalitica(startprice, x(1),x(2),x(3),x(4),x(5),r, maturity(i), strikes(i)); %prezzoHest = hestonAnalitica(startprice, x(1),x(2),(x(4)+x(3)^2)/(2*x(2)),x(4),x(5),x(6), maturity(i), strikes(i)); cost(i) = (prezzoHest-price(i)).^2; end % costo = sum(cost)/n; costo = cost; end |
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 | function [ funzCarHeston ] = funzCarHeston(s0, vola0, level, speed, volavola, r, correlation, ttm, s) %FUNZCARHESTON Summary of this function goes here % Detailed explanation goes here alpha = -s.*s/2 - i*s/2; beta = alpha - correlation*volavola*i*s; gamma = volavola*volavola/2; h = sqrt(beta.*beta - 4*alpha*gamma); rplus = (beta + h)/volavola/volavola; rminus = (beta - h)/volavola/volavola; g=rminus./rplus; C = spee function [prezziGenerati, tempi] = generaPrezziHeston(mu, speed, level, volavola, correlation, startState, nPeriods, nTrials, deltaTime, ignoraVola, nSteps) % GENERAPREZZIHESTON Summary of this function goes here % Genera nTrials traiettorie secondo il processo di Heston, su nPeriods scadenze. hestonSde = heston(mu, speed, level, volavola,... 'StartState', startState, 'Correlation', correlation); [traiettorie, tempi] = simByEuler(hestonSde, nPeriods,... 'nTrials', nTrials, 'DeltaTime', deltaTime, 'nSteps', nSteps); prezziGenerati = squeeze(traiettorie(:,1,:))'; end d*(rminus*ttm-(2/volavola^2).*log((1-g.*exp(-h*ttm))./(1-g))); D = rminus.*(1-exp(-h*ttm))./(1-g.*exp(-h*ttm)); funzCarHeston = exp(C*level+D*vola0+i*s*log(s0*exp(r*ttm))); end |
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